Auch bei Temperaturen gilt: Am Durchschnitt sollte man sich nicht orientieren

2023-09-10

Frank Siebert

Im Durchschnitt wäre die Erde -18°C kalt, wenn es keine Atmosphäre mit Treibhausgasen gäbe. Diese Aussage steht auf dem Prüfstand. Stimmen würde die Aussage nur, wenn dann die Erde tatsächlich überall gleichmäßig -18°C kalt wäre, aber das kann ausgeschlossen werden.

Hinweis 2023-10-21: In einer Modellierung eines Wasser-Planeten ohne Atmosphäre habe ich überprüft, ob sich hierbei andere Durchschnittstemperaturen ergeben wenn die Temperaturverteilung berücksichtigt wird. Ich konnte feststellen, dass dies in diesen einfachen Szenarien nicht der Fall ist. In solchen einfachen Szenarien kann also die durchschnittlich eingestrahlte Leistung verwendet werden, um die Durchschnittstemperatur zu ermitteln. Ob dies auch noch der Fall ist, wenn es um komplexe Körper mit Atmosphäre und Geographie geht, ist aus meiner Sicht weiter offen.

Korrektur 2023-09-16: Vervollständigung eines Satzes im Anhang: Da [...], können [+wir+] [...] [+, einsetzen+].

In diesem Artikel tauchen viele Formeln auf, ich habe diese zum größten Teil in den Anhang verbannt. Der Anhang enthält außerdem Quellcode für die selbsterstellten Grafiken, welche in diesem Artikel vorkommen.

In dem Artikel "Energiewende: Sofort alle Klimamodelle von (Faktor4*+CO2) auf rein Solar umstellen!" ¹ stellt der Autor Uli Weber die Theorie in Frage, dass die Temperatur der Erde ohne sogenannte Treibhausgase nur -18°C betragen würde.

Wenn sich herausstellt, dass er damit Recht hat, dann bewirken die sogenannten Treibhausgase in der Atmosphäre wenig bis gar nichts, und Milliarden von Euro für die Finanzierung der \(CO_2\) -Klimaforschung haben einigen Menschen zwar den Lebensunterhalt gesichert, waren aber für sonst nichts gut.

Wie kommt Uli Weber darauf? Welche Argumente hat er? Sind diese mit physikalischen Gesetzen wohlbegründet?

Das zentrale Argument von Uli Weber ist der Hinweis, dass das Stefan-Boltzman-Gesetz ² zur Strahlung idealer schwarzer Körper keine durchschnittliche infrarote Gleichgewichtsstrahlung für eine durchschnittliche Temperatur eines Körpers ermitteln kann.

Was meint er damit und warum ist das wichtig?

Die letzte Frage zuerst. Die Rechnungen, welche für die Erde eine durchschnittliche Temperatur von -18°C ermitteln, wenn keine Treibhausgase wirken würden, beruhen auf der Anwendung des physikalischen Gesetzes zur Strahlung idealer schwarzer Körper, welches die Physiker Josef Stefan und Ludwig Boltzmann aufgestellt haben.

Die Formel, welche dieses physikalische Gesetz beschreibt, kann verwendet werden um die Strahlungsleistung eines warmen Körpers zu ermitteln. Warm im Sinne dieses Gesetzes sind alle Körper, in denen Atome noch schwingen, also auch sehr kalte Körper geben noch eine Wärmestrahlung ab, dann allerdings nur von sehr geringer Leistung.

\(\displaystyle{P=\sigma \times A \times T^{4}}\)

Die Strahlungsleistung \(P\) in Watt (Einheit \(W\) ), so sagt das physikalische Gesetz, hängt proportional von der vierten Potenz der Temperatur \(T\) in Kelvin (Einheit \(K\) ) des Körpers und seiner strahlenden Fläche \(A\) in Quadratmetern (Einheit \(\textstyle{m^2}\) ) ab. Die Konstante \(\textstyle\sigma\) (Sigma), die sogenannte Stefan-Boltzmann-Konstante, sorgt dafür, dass bei der Rechnung auch tatsächlich Watt heraus kommen.

Der Wert dieser Konstante lässt sich gut merken, merken Sie sich einfach 5, 6, 7, 8:

\(\sigma = 5,67 \times 10^{-8} {W\over{m^2 \cdot K^4}}\)

Die Erde ist zwar kein idealer schwarzer Körper, und es gibt auch ein Gesetz für graue Körper, in dem ein Emissionsgrad Klein-Epsilon \(\textstyle{\epsilon( T )}\) , der materialabhängig ist und temperaturabhängig sein kann, eine Rolle spielt, aber in der Klimaforschung rechnet jeder mit \(\textstyle{\epsilon = 1}\) , bzw. die Forscher ignorieren einfach, dass die Erde nicht schwarz ist. Wenn es stimmt, das der Emissionsgrad \(\textstyle{\epsilon}\) der Erde nur wenig kleiner ist als 1, dann macht dies keinen großen Unterschied.

Der entscheidende Punkt der Argumentation ist, dass die Temperatur mit der vierten Potenz in die Strahlungsleistung eingeht, also die Temperatur vier mal mit sich selbst multipliziert. Und dies in Kelvin, wo 273,15 Kelvin 0°C entsprechen.

Sind nun verschiedene Flächen eines Körpers unterschiedlich warm, dann Strahlen sie auch unterschiedliche Leistung als Wärmestrahlung ab. Da die Temperatur mit der vierten Potenz in die Strahlungsleistung eingeht, kann man nicht einfach die durchschnittliche Temperatur nehmen und damit die Gesamtstrahlungsleistung der Gesamtfläche ermitteln, sondern man muss die Strahlungsleistungen der einzelnen Flächen ermitteln und dann die Gesamtstrahlungsleistung als Summe der Strahlungsleistungen berechnen.

Das muss man nicht glauben, man kann es an einem einfachen Beispiel betrachten und sehen, dass tatsächlich unterschiedliche Ergebnisse heraus kommen.

Rechenbeispiel zur Unzulässigkeit der Anwendung der Stefan-Boltzmann-Gleichung auf Durchschnittstemperaturen

Nehmen wir einen beliebigen schwarzen Körper mit 5 verschiedenen Teilflächen unterschiedlicher Temperatur.

Hier beginnt die erste spannende Frage. Wie soll ich nun die Durchschnittstemperatur (Klein-Tau mit Überstrich) \({\bar{\tau}}\) ermitteln? Ok, ich habe ja festgelegt, dass die jeweilige Fläche eine einheitliche Temperatur hat, also ist es natürlich korrekt, die Temperaturen bei der Ermittlung des Durchschnitts gemäß ihrer Fläche zu gewichten. Die jeweilige Temperatur wird also mit ihrer Fläche multipliziert, diese Produkte werden aufaddiert und dann durch die Gesamtfläche geteilt.

\({\bar{\tau}} = {\displaystyle{\sum_{i=1}^5 T_i \times A_i} \over \displaystyle{\sum_{i=1}^5 A_i}}\)

Unsere Beispielwerte setzen wir in diese Formel ein, und erhalten als Durchschnittstemperatur 282,84K (9,69°C), die detaillierte Rechnung finden Sie im Anhang A1-1 .

Anmerkung:

Bei den punktuellen Messwerten der Temperatur der Erde ist dies aber nicht so einfach, eben weil es punktuelle Messwerte sind, und wir in Wirklichkeit nicht wissen, für welche Fläche dieser Messwert gültig ist.

Setzen wir die errechnete Durchschnittstemperatur und die Gesamtfläche in die Stefan-Boltzmann-Gleichung ein, dann erhalten wir als Wärmestrahlungsleistung 152 kW, die detaillierte Rechnung finden Sie im Anhang A1-2 .

Nun müssen wir eine Gegenrechnung machen, also für jede Einzeltemperatur jeder Einzelfläche die Strahlungsleistung berechnen und erst danach diese aufaddieren. Die Gegenrechnung ergibt 155 kW, die detaillierte Rechnung finden Sie im Anhang A1-3 .

152 kW ist ganz klar ungleich 155 kW, also ist ein Rechenweg ganz klar falsch. Da nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz jede Einzelfläche entsprechend ihrer Temperatur strahlt, ist die zweite Rechnung mit den 155 kW korrekt und die erste Rechnung mit den 152 kW falsch.

Beliebt ist auch die Betrachtung als Leistungsdichte. Um diese zu erhalten müssen wir die Leistung durch die Fläche teilen: 152 kW / 420 m² ergeben 362 W/m², 155 kW / 420 m² ergeben 369 W/m². Der Unterschied beträgt immerhin 7 Watt pro Quadratmeter.

In der Klimaforschung wird gerade um jedes einzelne °C gestritten, und diese 7 Watt pro Quadratmeter würden da nach üblicher Betrachtung bereits einen großen Unterschied machen.

Das war nun nur ein Beispiel aus der hohlen Hand, welches zeigt, dass die initiale Aussage von Uli Weber korrekt ist.

Man kann zwar die eingestrahlte Energie der Sonne auf die Gesamtfläche aufteilen, sich darauf berufen, dass die abgestrahlte Wärmeenergie genauso groß sein muss, und hieraus die mittlere Temperatur der Erde berechnen. Man muss sich aber darüber im Klaren sein, dass das Ergebnis einen Fehler unbekannter Größe aufweisen wird.

Auf Rechnungen mit diesem systematischen Fehler beruht die Aussage, die Erde hätte ohne \(CO_2\) die Temperatur von -18 °C.

Wie eine solche Rechnung genau aussieht, zeigt der Artikel "Solar Radiation and the Earth's Energy Balance" ³ auf Columbia.Edu. Sie können sich dort davon überzeugen, dass die -18°C dort genauso berechnet werden, wie ich es beschrieben habe. Die Sonneneinstrahlung auf der Tagseite wird rechnerisch auf die gesamte Erde gleichmäßig verteilt, und da im Gleichgewichtszustand die Erde genauso viel Energie als Wärmestrahlung abstrahlen muss wie auf sie einstrahlt, wird hieraus dann über das Stefan-Boltzmann-Gesetz die Temperatur der Erde ohne Treibhausgaswirkung berechnet.

Auch die Klimamodelle rechnen falsch

In dem IPCC Dokument "Climate Change 2021 - The Physical Science Basis" Kapitel "7.2.1 Present-day Energy Budget" Seite 951 des PDF (Seitennummer 934) ⁴ findet sich folgende Grafik zum Energie-Budget.

Bildzitat:

Bildzitat Ende

Folgt man den Quellenangaben zu Wild et al. (2015, 2019), ...

Anmerkung:

Sie werden in dem IPCC Dokument nicht so verwöhnt, dass Sie Quellen einfach per Klick folgen können. Das IPCC möchte offenbar nicht, dass Sie die Quellen lesen.

Folgt man den Quellenangaben, so lernt man aus der Arbeit von 2015, "The energy balance over land and oceans: an assessment based on direct observations and CMIP5 climate models" ⁵ , Zitat aus dem Abstrakt (Übersetzt):

Die Energiebudgets über Land und Ozeanen sind trotz ihrer zentralen Bedeutung für das terrestrische und maritime Klima immer noch mit erheblichen Unsicherheiten behaftet. Wir bewerten diese Budgets, wie sie in 43 CMIP5-Klimamodellen dargestellt werden, mit direkten Beobachtungen sowohl von der Oberfläche als auch aus dem Weltraum und stellen erhebliche Verzerrungen fest, insbesondere bei den Oberflächenflüssen der abwärts gerichteten solaren und thermischen Strahlung. Diese Flussverzerrungen in den verschiedenen Modellen werden dann linear mit ihren jeweiligen Land- und Ozeanmittelwerten in Beziehung gesetzt, um die besten Schätzungen für die heutige abwärts gerichtete Sonnen- und Wärmestrahlung über Land und Ozean abzuleiten. Über Land, wo die meisten direkten Beobachtungen verfügbar sind, um die Oberflächenflüsse einzuschränken, erhalten wir 184 bzw. 306 Wm⁻² für die solare und thermische Abwärtsstrahlung. Über den Ozeanen, wo die Beobachtungen weniger genau sind, liegen die entsprechenden Schätzungen bei 185 und 356 Wm⁻². [...].

Zitat Ende

Die Autoren mahnen die Anpassung der Werte der Energieeinstrahlung in den CMIP5 Klimamodellen entsprechend der neuesten Beobachtungen an. Die neuen Vorschlagswerte sind leicht erkennbar globale Durchschnittswerte. Dies bedeutet, diese Klimamodelle verwenden globale Durchschnittswerte in der Berechnung des Energiegleichgewichts und rechnen daher alle falsch. Die Arbeit ist dennoch lesenswert und sie enthält viele Referenzen auf weitere Arbeiten, welche offenbar den gleichen grundsätzlich falschen Ansatz verfolgen.

An der Höhe der Werte können wir erkennen, es wird mit globalen Durchschnittswerten der Energieeinstrahlung gearbeitet.

Wir müssen natürlich auch in die neuere Arbeit aus 2019 hinein schauen. Vielleicht wurde der Fehler ja bereits bemerkt und korrigiert. Doch auch in dieser Arbeit, "The cloud-free global energy balance and inferred cloud radiative effects: an assessment based on direct observations and climate models" ⁶ , geht es um Klimamodelle und die Watt-Angaben stellen weiterhin ganz klar globale Durchschnittswerte dar. Außerdem stellen wir fest, dass Wild et al. 2019 bereits im Jahr 2018 veröffentlicht wurde, aber das ist nur eine Randnotiz, damit Sie nicht unnötig verwirrt werden. Wie gesagt, ich bin der Quellenangabe die IPCC gefolgt, wir sind hier richtig bei Wild et al. 2019.

Wir wissen nun immerhin, dass die Klimamodelle falsch rechnen, und wir können mit dem Finger auf den Fehler zeigen und auch nachweisen, das es ein Fehler ist.

Berechnung der Tages-Erdtemperaturen mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz in 1° Schritten vom Azimut

Nach der Methode von Uli Weber

Ich halte hier an dieser Stelle noch einmal fest, dass Uli Weber in dieser Hinsicht recht hat. Unsere Beispielrechnung hat gezeigt, dass Temperaturunterschiede auf der betrachteten Erdkugel bei der Anwendung von Stefan-Boltzmann nicht ignoriert werden dürfen. Anders herum dürfen natürlich Unterschiede der solaren Energieeinstrahlung bei der Anwendung von Stefan-Boltzmann zur Ermittlung der Temperaturen ebenfalls nicht ignoriert werden.

Die Klimamodelle ignorieren dies dennoch. Zwar variieren diese die Einstrahlung je nach dem, ob es sich um Ozean oder Land handelt, verwenden aber als Basis dieser Variation eine Strahlungsleistungsdichte, welche auf einer gleichmäßigen Aufteilung der Strahlungsleistung auf die gesamte Kugeloberfläche der Erde beruht.

Uli Weber tritt an, es besser zu machen, und wir sehen uns hier seinen Ansatz hierfür an.

In diesem Ansatz gibt es eine Kugelförmige Erde, und irgendwo auf dieser Erde steht die Sonne gerade im Zenit, auch Scheitelpunkt oder Azimut genannt. Uli Weber legt diesen Punkt an den Äquator, aber im Grunde ist dies für die Berechnung egal, wir können uns auch für den Brunnen in Syene, Ägypten, entscheiden, den Eratosthenes um das Jahr 240 vor Christus für die Berechnung des Erdumfanges verwendete ⁷ . Wichtig ist, dass es zu jeder Zeit irgend einen Punkt auf der Erde gibt, in dem die Sonne im Zenit steht.

Auf diesen Punkt der Erde strahlt dann die Sonne mit der höchsten Energiedichte ein. Von diesem Punkt ausgehend wird die Energiedichte immer kleiner, bis sie dort, wo die Tag-Nacht-Grenze liegt, schließlich 0 wird.

Betrachten wir die Erde in dieser Weise, also als Kugel, dann verändert dies die Berechnung des Strahlungsgleichgewichtes erheblich. Denn das Strahlungsgleichgewicht verlangt, dass die jeweils unterschiedlich bestrahlten Flächen jeweils für sich die für das Gleichgewicht erforderliche Temperatur erreichen.

Da sich die Erde dreht und eine Atmosphäre hat, verteilen sich die Temperaturen glücklicherweise, aber im ersten Ansatz ist das zu kompliziert. Der Ansatz von Uli Weber hält also die Erde zunächst einmal an, um die dann entstehenden Temperaturen zu ermitteln und hieraus eine Durchschnittstemperatur für die Erde zu ermitteln.

Es ist klar, dass dieses Ergebnis nicht das letzte Wort ist. Es muss ein falsches Ergebnis dabei heraus kommen. Wenn es aber nur ein erster Schritt zu einer Lösung ist, und solange wir nicht behaupten, diese Zwischenlösung sei das Endergebnis, dann spricht gar nichts dagegen, so vor zu gehen.

Für die Berechnung nach Stefan-Boltzmann müssen wir daher die Oberfläche der Erde, ausgehend vom Scheitelpunkt, in schmale konzentrische Kreisflächen aufteilen, in welche jeweils die gleiche Energie einfällt.

Aus den so ermittelten Gleichgewichtstemperaturen dieser Kreisflächen kann dann auf dem gleichen Weg wie in dem vorherigen Beispiel eine durchschnittliche Erdtemperatur für die Tagesseite ermittelt werden.

Später muss dieses Modell natürlich erweitert werden, um die Erdrotation und den Wärmeenergietransport in der Atmosphäre und den Meeren mit einzubeziehen und auch deren Speicherkapazität sowie deren Lade- und Entladekurven. Und das ist vermutlich nicht alles, aber dies ist heute alles kein Thema.

Stellt sich bei dieser Berechnung heraus, dass die Gleichgewichts-Durchschnittstemperatur der Erd-Tagesseite bei +15°C oder gar +17°C liegt, dann würde dies zeigen, dass die sogenannten Klima-Gase nicht unbedingt benötigt werden, um unser Klima zu erklären. Unter Einbeziehung von Land und vor allem Wasser für Wärmespeicherung und -transport könnte dies reichen, um die Erdtemperaturen ohne Treibhausgaseffekt zu erklären. Aber das wäre dann immer noch nachzuweisen, und soweit führt uns dieser Artikel heute nicht.

Zurück zu dem Artikel von Uli Weber.

Eigentlich sind es mehrere Artikel, und im Ganzen etwas unübersichtlich. Eine Berechnung, nein, mehrere Berechnungen des Strahlungsgleichgewichts der Tagesseite finden sich in dem Artikel "Anmer­kungen zur hemisphä­rischen Mittelwert­bildung mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz" ⁸ . Dass der Artikel ebenfalls von Ulf Weber ist, erfährt man aber nur über den Link aus dem ersten Artikel, der zeitlich später geschrieben wurde.

Der Artikel ist auf Deutsch geschrieben, darum will ich es hier kurz halten. Der Autor startet die Berechnung ausgehend vom Zenit der Sonne in konzentrischen Ringflächen von 1° Winkelbreite bis zum Rand der beleuchteten Erdseite. Der Winkelursprung liegt natürlich im Erdmittelpunkt. In der Draufsicht werden diese Ringflächen nach Außen immer enger und erhalten entsprechend weniger Energie durch die Sonnenstrahlen.

In seiner Formel hat der Autor hierfür die Kosinus-Funktion verwendet, was natürlich völlig korrekt ist. In der Formel, die der Autor aufstellt, irritiert ein Zeichen etwas, das wie ein umgekehrtes Fragezeichen aussieht. Aber egal, wir können ja die Formel selbst aufstellen und dann nachschauen, was mit dem umgekehrten Fragezeichen gemeint ist.

Der Ausgangspunkt ist wie immer, wenn es um das Strahlungsgleichgewicht geht, dass die Einstrahlung der Sonnenenergie gleich der Wärmestrahlungsenergie sein muss. Darum heißt es Strahlungsgleichgewicht. Lässt sich aus der Temperatur eines Körpers die Wärmestrahlung errechnen, dann können wir durch Umstellung der Formel auch aus der eingestrahlten Energie die Temperatur ermitteln.

Bei dieser Rechnung ist immer jedem klar, zumindest hoffe ich dies, dass bei der Erde der Fall des Strahlungsgleichgewichtes eine Ausnahme ist. Energiespeicherung und Energietransport spielen eine große Rolle auf unserem Planeten und für den Speichervorgang braucht es ein Ungleichgewicht, genauso wenn später Energie aus einem Speicher entnommen wird. Im Großen und Ganzen muss die Erde genauso viel Energie abstrahlen, wie die Sonne einstrahlt, aber im Kleinen sind es die Energieungleichgewichte, welche unsere Biosphäre antreiben und das Leben auf der Erde ermöglichen.

Jetzt aber rechnen wir mit der Gleichgewichtsbedingung nach Stefan-Boltzman, welche wir bereits kennen. Diese muss nach der Temperatur umgestellt werden, und ein Winkelabhängiger Faktor und ein Faktor für die Albedo müssen eingefügt werden. Die Herleitung finden Sie in Anhang A2-1 .

\(T_{\gamma}=\sqrt[\LARGE 4]{{ (1 - \alpha) \times cos(\gamma) \times I_S }\over{\sigma}}\)

Statt der Leistung \(P_S\) und der Fläche A findet sich in der Gleichung die Strahlungsdichte \(I_S\) , da die Strahlungsleistung der Sonne üblicherweise in W/m² angegeben wird.

Dem IPCC Dokument "Climate Change 2021 - The Physical Science Basis" Kapitel "2.2.1 Solar and Orbital Forcing" Seite 314 des PDF (Seitennummer 297) ⁹ ist der Grafik zu entnehmen, dass der Wert 1.361 \(W/m^2\) wohl zur Zeit ganz gut passt. Auf der Seite ist in der Grafik auch zu finden, dass das IPCC glaubt, dieser Wert sei über die letzten 2.500 Jahre maximal um 0,5 Watt nach oben oder unten abgewichen. Letzteres halte ich für völlig unglaubwürdig, aber das ist ja jetzt nicht das Thema.

Mit der solaren Irradiance, zu Deutsch "Strahlungsdichte" \(I_S = 1.361 W/m^2\) , der Albedo \(\alpha = 0,3\) und der Konstante \(\sigma\) können wir nun also die Gleichgewichts-Temperatur \(T_{\gamma}\) der Erdoberfläche für verschiedene Winkelabweichungen \(\gamma\) vom Azimut, Scheitelpunkt, der Sonne ausrechnen.

Diese 90 Einzelberechnungen rechne ich hier natürlich nicht vor, stattdessen soll ein kleines Python-Programm die Schritte und das Ergebnis zeigen. Das Programm finden Sie in Anhang A3 .

Das Ergebnis meiner Rechnung sieht dem von Uli Weber sehr ähnlich. Da es nichts extra kostet, habe ich ausgewählte Ergebnisse als Zahlen ausgeben lassen. Als Azimut sollte immer 0° und als Horizont 90° heraus kommen, wenn die komplette Halbkugel abgedeckt ist.

Als Temperaturen wurden ermittelt:

Solar Irradiation: 1361
Width in °:        1
=================================
Azimut:         0
Horizon:       90
T(0)  in °C:   86.88380190803548
T(60) in °C:   29.601133394632996
T(90) in °C: -273.11815153609234

Anders als Uli Weber habe ich die Temperaturen auf den 1° Kreisen und dem 0° Punkt ermittelt. Uli Weber hatte sich entschieden, 1° als Flächenränder zu verwenden und die Temperatur für die Fläche ein halbes Grad versetzt in der Flächenmitte zu ermitteln.

Das, was wir als Ergebnis auf der Grafik sehen, sagt uns, dass die Erde als Ganzes nie die Gleichgewichts-Strahlungstemperatur hält. Teile der Erde sind glücklicherweise stets kühler, als es hierfür erforderlich wäre, während andere Teile, ebenfalls glücklicherweise, stets wärmer sind. Dieses stete Ungleichgewicht ist es, was das Wetter und auf längeren Zeitskalen auch das Klima antreibt.

Wir sehen also bereits jetzt, dass wir nicht das richtige Ergebnis bekommen, auch wenn wir den richtigen Ansatz verwendet haben. Aber das hatten wir vorher schon gewusst und besprochen. Es ist nur ein erster Schritt mit dem richtigen Ansatz, weitere Schritte sind erforderlich.

Wie die fehlenden Teile in diesem Ansatz berücksichtigt werden können ist eine Frage für später, hier machen wir zunächst weiter mit der ...

Berechnung der Fläche der Kugelzonen

In unserem ersten kleinen Beispiel hatten wir die Durchschnittstemperatur von 5 Flächen ermittelt. Hierfür hatten wir die jeweilige Temperatur mit ihrer Fläche multipliziert, die Produkte aufaddiert und dann durch die Gesamtfläche geteilt.

Jetzt haben wir die Temperaturen auf epizentrischen Kreisen ermittelt, und für die Ermittlung der Durchschnittstemperatur benötigen wir die dazugehörigen Ringflächen auf der Erdkugel.

Uli Weber macht dies in seinem Artikel genauso, insofern hat seine Vorgehensweise meine volle Zustimmung. Genau so muss das gerechnet werden. Allerdings verrät er nicht die Formel für diese Flächenberechnung, was mir jetzt natürlich unnötig Arbeit macht. Vielleicht ist es irgendwo im Text versteckt in einem der vielen anderen Artikel von ihm.

Wie berechnet man die Flächendifferenz zwischen zwei konzentrischen Kreisen auf einer Kugeloberfläche? Dafür habe ich tatsächlich in die Formelsammlung geschaut und dort eine Formel für die Flächenberechnung einer Kugelkappe gefunden. Eine Ringfläche auf einer Kugel, eine sogenannte Kugelzone, lässt sich als Differenz zweier Kugelkappen berechnen. Die Herleitung der Formel finden Sie in Anhang A4

Für die Berechnung benötigen wir den Radius der Erde. Die WikiPedia gibt den mittleren Radius der Erde mit 6.371.000 Metern an ¹⁰ .

Damit können wir nun das Programm erweitern, um die Kugelzonenflächen zu den ermittelten Gleichgewichtstemperaturen zu ermitteln und darzustellen. Das Programm finden Sie in Anhang A5 .

Berechnung der Durchschnittstemperatur der Erd-Tagseite

Nach der Methode von Uli Weber

Da ich die Temperaturen jeweils auf den begrenzenden Kreisen der Fläche ermittelt habe, muss ich mich entscheiden, ob ich die Temperatur des inneren Kreises oder des äußeren Kreises auf die Fläche anwende. Im ersteren Fall erhalte ich eine höhere Durchschnittstemperatur als im zweiteren Fall, die Methode hat also einen methodischen Fehler.

Wenn ich wissen will, wie hoch dieser methodische Fehler ist, dann berechne ich die Durchschnittstemperatur nach beiden Methoden. Da ich gerade an einem Rechner sitze, während ich dies schreibe, kostet das Berechnen der beiden Grenzwerte praktisch keine extra Zeit, daher wäre es sträflich, dies zu unterlassen.

Wie die nach Fläche gewichteten Temperaturen in die Berechnung eingehen, haben wir uns ja bereits angesehen. Das Rechenverfahren ist also klar.

Da ich bereits eine Schleife habe, nutze ich diese, um mir Anzuschauen, wie sich die Durchschnittstemperatur bei der Hinzunahme weiterer Flächen von innen nach außen seinem Endergebnis nähert.

Ein wahnsinniger Erkenntnisgewinn ist dadurch nicht zu erwarten, aber es sieht schöner aus und vielleicht überrascht das Ergebnis ja doch.

Tatsächlich habe ich Dank der Darstellung einen Fehler in meiner Implementierung gefunden, so dass ich einige Korrekturen in diesen Text einpflegen musste. Ich mag es gar nicht, wenn mir Fehler in einer Veröffentlichung passieren, darum bin ich froh, den geringen Mehraufwand gemacht zu haben. Das Program finden Sie in Anhang A6

Natürlich habe ich das Programm auch die abschließenden Werte für die Maximal- und Minimal-Werte der durchschnittlichen Tagesseiten-Gleichgewichtstemperatur ausgeben lassen.

Diese sind wie folgt:

Solar Irradiation: 1361
Width in °:        1
=================================
Azimut:         0
Horizon:       90
T(0)  in °C:   86.88380190803548
T(60) in °C:   29.601133394632996
T(90) in °C: -273.11815153609234
t_av_min:      11.224777193693278
t_av_max:      12.095772890287082

Wir bewegen uns hier im Rahmen von 11,2°C bis 12,1°C. Das ist natürlich höher als -18°C, aber wir haben ja auch nur die Tag-Seite betrachtet. Ich würde an dieser Stelle keine Wetten abgeben, wie das am Ende ausgeht.

Da wir nun ein Programm haben, und 1° Winkel ja doch eine recht grobe Einteilung sind, versuchen wir es doch einfach einmal mit einem Winkel von 1/8°:

Solar Irradiation: 1361
Width in °:        1/8
=================================
Azimut:         0.0
Horizon:       90.0
T(0)  in °C:   86.88380190803548
T(60) in °C:   29.601133394632996
T(90) in °C: -273.11815153609234
t_av_min:      14.457181803207353
t_av_max:      14.560670082229763

Und plötzlich bewegen wir uns im Bereich von 14,46° bis 14,46°, also gute 2°C mehr. Schaffen wir es gar über 20°, nur indem wir die Winkel immer enger machen? Probieren wir es mit 1/64°.

Solar Irradiation: 1361
Width in °:        1/64
=================================
Azimut:         0.0
Horizon:       90.0
T(0)  in °C:   86.88380190803548
T(60) in °C:   29.601133394632996
T(90) in °C: -273.11815153609234
t_av_min:      14.82730942418207
t_av_max:      14.840169216806057

14,82° bis 14,84°, immerhin. Der methodische Fehlerbereich durch die Verwendung der Ringkantentemperatur ist nur noch 0,02°C groß, aber beim Verkleinern der Ringbreiten steigt die Durchschnittstemperatur weiter an, allerdings nicht mehr um 2°, sondern nur noch um etwa 0,4°. Die 15°C sind bei weiter verkleinerten Flächen vermutlich erreichbar.

Bilanz

Die Bandbreite von Durchschnittstemperaturen von 11,2°C bis 14,8°C nur durch die Variation der Schrittweite veranschaulicht, wie Anfällig eine Berechnung einer Durchschnittstemperatur der Erde für kleinste Variationen ist.

Ich meine, die Kugel, für welche hier die Durchschnittstemperatur berechnet wurde, ist per Definition der Aufgabenstellung im thermischen Gleichgewicht.

Dies heißt: Die Temperatur dieser Kugel ändert sich nicht von "Messung" zu "Messung". Und Messfehler gibt es bei dieser Berechnung ebenfalls keine.

Dennoch zeigen die Ergebnisse Unterschiede von bis zu 3,6°C auf.

Wie sieht da wohl mit den weltweiten Messungen eines ganzen Jahren aus, jede einzelne Messung mit einer ganzen Latte von Fehlerquellen? Wie hoch wird wohl die Genauigkeit der offiziell ermittelten Durchschnittstemperatur der Erde für ein Jahr sein, wenn wir hier bereits ohne Messfehler 3,6°C mehr oder weniger ermitteln können, ganz ohne Änderung der Berechnungsmethode alleine durch eine Änderung der Flächengrößen?

Hmm. werden in den Klimarechnungen nicht auch immer größere Rechner verwendet, um mit immer kleineren Atmosphärensäulen immer genauer zu rechnen? Wird es vielleicht deshalb immer wärmer?

Auch bei der Ermittlung der sogenannten Durchschnittstemperatur auf der Basis von Messwerten wird ein Flächengitter über die Erde gelegt, und für Gitterflächen, für die keine Messwerte existieren, werden Temperaturmesswerte trianguliert. Eine Erhöhung der Gitterdichte führt theoretisch zu einer höheren Genauigkeit, wenn man außer Acht lässt, dass sich die Auswirkung von Fehlertoleranzen bei den Temperaturmessungen durch den erhöhten Triangulationsbedarf erhöht. Unser Beispiel zeigt, dass eine Erhöhung der Gitterdichte auch zu höheren Ergebnissen führen kann.

Wenn einmal wieder eine Rekord-Durchschnittstemperatur durch die Medien geistert, dann denken Sie an die nicht mitgeteilten Fehlertoleranzen und auch daran, dass Sie nicht wissen, ob sich seit dem letzten Rekord methodisch etwas geändert hat, und sei es auch nur eine Verkleinerung der Flächen, mit denen gerechnet wird.

Was halte ich nun von dem Ansatz von Uli Weber?

Der Rechenansatz von Uli Weber ist sehr gut begründet. Um aber eine Aussage treffen zu können, wie warm denn die Erde nun ohne Treibhausgase werden würde, sind weiter gehende Betrachtungen nötig. Die Erde muss sich in der Berechnung drehen, womit zwangsläufig Stefan-Boltzmann und deren Gleichgewichtsbedingung lokal verletzt werden wird, so dass andere Werkzeuge zur Berechnung heran gezogen werden müssen.

Ein weiteres Problem, vielleicht aber auch die Lösung des Problems, sind Wärmespeicher, oder auch Energiepuffer. Als Puffer wären das Wasser, das Land, die Pflanzen, die Tiere, die Pilze, die Winde und, seit neuestem und nur unwesentlich beteiligt, Solar-Anlagen und Windkraftanlagen zu nennen. Aber auch Häuser und Asphalt dürfen hier als Wärmespeicher nicht vergessen werden, tragen diese doch sehr stark zur urbanen Erwärmung bei, da sie sehr schnell hohe Temperaturen erreichen können und dann auch wieder sehr schnell abgeben.

Auf der Nachtseite der Erde werden diese Puffer angezapft, vor allem das Wasser und das Land, so dass die Temperaturen der Atmosphäre nicht gar zu weit absinken. Und vor allem das Wasser, das bei Abkühlung in der Atmosphäre zu Wolken kondensiert, strahlt bei diesem Vorgang nicht nur Infrarot ins All nach oben ab, sondern auch nach unten.

Da Wasser in der Rechnung bereits in der Form der Albedo implizit auftauchte, kann auch die Temperatur-stabilisierende Wirkung des Wassers in der weiteren Betrachtung einbezogen werden. Bei der Wärmeabgabe während der Kondensation von Wasser handelt es nicht um den sogenannten Treibhausgaseffekt.

Und da liegt im Grunde die Lösung. Wasser ist fast überall auf der Erde, und Wasser ist nicht nur ein riesiger Energiespeicher, wir kennen außerdem dessen Lade- und Entladekurve. Wird Energie in Wasser hinein gesteckt, dann können wir sehr gut ausrechnen, welche Temperatur es nach welcher Zeit erreicht. Wir kennen die Verdunstungsenergie und die Energie, die es braucht um Eis zu schmelzen.

Im Grunde lässt sich jede Fläche als Energiespeicher auf der Basis von Wasser modellieren. Sobald wir das dann in Rotation versetzen, denn die Erde rotiert ja, wird es allerdings Knifflig, weil sich der Azimut ja dann verschiebt und wir die Schnittmengen mit den vorherigen konzentrischen Ringen dann jede für sich getrennt betrachten müssen. Und mit jedem Stück, das wir die Erde weiter drehen, werden es ganz schnell sehr viel mehr Schnittflächen.

Da liegt der Hase im Pfeffer begraben. Hier braucht es entweder eine gute Idee, oder viel Rechenleistung oder viel Zeit.

Ein anderer Aspekt ist die Funktion der Atmosphäre als Wärmeisolation. Auch dies darf nicht mit dem Treibhauseffekt verwechselt werden. Ein wärmeisolierter Körper, dessen isolation für die Energiezufuhr transparent oder wenigstens teilweise transparent ist, entwickelt von innen nach außen einen Temperaturgradienten, wie wir dies auch in der Troposphäre sehen, und erreicht die Temperatur für das Strahlungsgleichgewicht an der Außenseite, während die Innenseite wegen des Temperaturgradienten wärmer werden muss. Es steht außer Frage, dass auch eine Atmosphäre ohne Treibhausgase im Kontakt mit einem warmen Boden sich erwärmen würde, und diese Wärme durch Konvektion nach Außen bis zum Rand der Troposphäre transportieren würde. Um dies in das Modell zu integrieren, benötigt man Labor-Kennlinien für ein Sauerstoff-Stickstoff-Gemisch entsprechend unserer Atmosphäre mit und ohne Luftfeuchtigkeit, aber ohne weitere Treibhausgase.

Bis zu der Antwort darauf, wie warm die Erde ohne Treibhausgase (außer Wasser) sein würde, ist also noch viel Arbeit erforderlich.

Am Ende zeigt die Rechnung bis zu diesem Punkt nicht zweifelsfrei, ob \(CO_2\) keine Rolle bei der Erreichung der Erdtemperaturen spielt. Die Rechnung wirft diese Frage aber sehr wohl mit neuer Vehemenz auf. Es ist bei den hohen Strahlungsgleichgewichtstemperaturen der Tagesseite nicht so leicht erkennbar, dass \(CO_2\) erforderlich ist, um die Erde von -18°C auf +15°C zu bringen.

Wenn nun jemand die Stimme erhebt und einwirft, dass der dargestellte Strahlungshaushalt ja nur die halbe Wahrheit ist, da die Nachtseite ja komplett fehlt, dem muss ich entgegenhalten, dass dieser Ansatz vermutlich nur 5% oder weniger der Wahrheit darstellt, weil die Wärmespeicher in der Betrachtung fehlen.

Dennoch ist der Ansatz korrekt, während der Ansatz einer Strahlungsbilanz basierend auf einer Durchschnittstemperatur mathematisch nachweisbar falsch ist. Die Summe der Strahlung verschieden warmer Flächen ist eben nicht gleich der Strahlung einer in Summe gleich großen Fläche mit der Durchschnittstemperatur der Flächen.

Wie auch immer die Wahrheit in dieser Sache aussieht, die -18° Durchschnittstemperatur der Erde ohne Treibhausgase beruhen auf einer fehlerhaften Rechnung. Und die Ergebnisse fehlerhafter Rechnungen sind erst einmal ebenfalls als falsch einzustufen, auch wenn die korrigierte Rechnung rein zufällig das gleiche Ergebnis ergeben könnte.

Fehlerhafte Ergebnisse lassen sich an Fehlern in der Rechnung erkennen, auch wenn die korrekten Ergebnisse nicht bekannt sind.

Das erste Beispiel zeigte, das verschiedenste Durchschnittstemperaturen zur gleichen Wärmestrahlung führen können. Ok, es zeigte dies nicht explizit, darum finden Sie es explizit in Anhang A7 dargestellt.

Durchschnittstemperaturen sind also völlig ungeeignet für eine Klimabetrachtung. Sie sind allenfalls dafür geeignet, eine Idee einfacher zu vermitteln, aber wirklich gut kann diese Idee nicht sein, wenn sie auf so schwachen Füße steht

Nun, offenbar steht die gesamte weltweite Klimadebatte auf schwachen Füßen.

Macht es aber Sinn, den besseren Ansatz zur Modellierung der Erde und ihrer Temperaturen weiter zu verfolgen, um ein eigenes Ergebnis vorlegen zu können?

Wenn es gelingt, ein Modell aufzustellen, in dem die eingestrahlte Energie genau so als Wärme verteilt wird, dass das Strahlungsgleichgewicht eingehalten wird und die heutigen Temperaturen ohne Treibhausgaseffekt erreicht werden, dann beweist leider nichts. Es ist auch dann nur eine Modellrechnung von vielen.

Was bedeutet denn der Treibhauseffekt ganz real? Energie macht einen Umweg, bevor sie wieder abgestrahlt wird. Ein effektiver Energiespeicher ist Kohlendioxid nicht wirklich, absorbierte Energie wird praktisch sofort wieder abgestrahlt.

Braucht es ein großes Modell um aufzuzeigen, dass die anderen Sonnenenergiespeicher, wie das Wasser - flüssig, gasförmig und als Wolken -, der Erdboden, die Pflanzen und die Tiere mit ihrer Kapazität zur Energiespeicherung und des Energietransportes das Klimageschehen so dramatisch dominieren, dass eine \(CO_2\) -Wärmerückstrahlung eine lächerliche Nichtigkeit darstellt?

Natürlich ist es eine interessante Herausforderung, ein solches Modell aufzustellen, und man kann sicher viel bei der Erstellung darüber lernen, was man alles falsch machen kann. Aber das Modell wird nie die Wirklichkeit abbilden und daher immer nur begrenzte Aussagekraft besitzen.

Nun, die Klimamodelle, welche vom IPCC herangezogen werden, besitzen ja gar keine Aussagekraft, wie wir nun ganz sicher wissen. Bereits die Energiezufuhr zur Erde ist falsch modelliert, so dass der Rest auch nicht zu retten ist.

Wirklich Aussagekräftig sind Baumstämme und Stümpfe, welche beim Rückzug von Gletschern zu Tage kommen und uns klar sagen: "Ich wuchs hier 200 Jahre lang während der römischen Warmzeit, da war es hier mindestens 4°C wärmer (siehe heutige Baumgrenze)." Oder: "Ich wuchs hier 150 Jahre lang während der mittelalterlichen Warmzeit, da war es hier mindestens 2°C wärmer (siehe heutige Baumgrenze)." Bei diesen Aussagen sind die Fehlertoleranzen äußerst gering. Das sind Aussagen, die stehen fest wie ein Baum... Äh. Wie ein Baumstumpf natürlich.

Das sind konkrete und relevante Aussagen für einen konkreten Ort, der ein viel wärmeres Klima sah, ohne dass die Welt deswegen Unterging.

Ich erinnere mich an einen Artikel aus den frühen 2000er Jahren, der von der Prognose berichtete, dass Menschen meines Geburtsjahres durchschnittlich 104 Jahre alt werden würden.

Ich fragte mich unwillkürlich, welche Teile von mir früher, und welche später sterben würden.

Erkenntnisse haben meistens vorläufigen Charakter und sind immer individueller Natur . Sie selbst entscheiden, ob Sie Erkenntnisse anderer als Meinung übernehmen oder ob Sie sich Erkenntnisse selbst erarbeiten. Meine Quellenangaben sollen Ihnen bei letzterem eine Hilfestellung geben, Sie sollten aber immer auch weitere Quellen verwenden.

Glauben Sie nicht, auch nicht mir, sondern prüfen Sie und schlussfolgern Sie selbst.

Anhang

A1: Rechenbeispiel zur Unzulässigkeit der Anwendung der Stefan-Boltzmann-Gleichung auf Durchschnittstemperaturen

\({\bar{\tau}} = {\displaystyle{\sum_{i=1}^5 T_i \times A_i} \over \displaystyle{\sum_{i=1}^5 A_i}}\)

Anhang A1-1: Zurück

\(\begin{equation}\begin{aligned} {\bar{\tau}} & = ( 293,15K \times 100m^2 + 271,15K \times 40m^2 \\ & + 288,15K \times 150m^2 + 253,15K \times 80m^2 \\ & + 303,15K \times 50m^2 ) \\ & / ( 100m^2 + 40m^2 + 150m^2 + 80m^2 + 50m^2 ) \\ \\ & = {{118793K \cdot m^2}\over{420m^2}} \\ \\ & = 282,84K (9,69°C) \end{aligned}\end{equation}\)

Anhang A1-2: Zurück

\(\displaystyle{P=\sigma \times A \times T^{4}}\)

\(\sigma = 5,67 \times 10^{-8} {W\over{m^2 \cdot K^4}}\)

\(\begin{equation}\begin{aligned} P & = 5,67 \times 10^{-8} {W\over{m^2 \cdot K^4}} \times {420m^2} \times {282,84K}^{4} \\ \\ & = 152.404 W \end{aligned}\end{equation}\)

Anhang A1-3: Zurück

\(\begin{equation}\begin{aligned} P & = 5,67 \times 10^{-8} {W\over{m^2 \cdot K^4}} \times {100m^2} \times {293,15K}^{4} \\ & + 5,67 \times 10^{-8} {W\over{m^2 \cdot K^4}} \times {40m^2} \times {271,15K}^{4} \\ & + 5,67 \times 10^{-8} {W\over{m^2 \cdot K^4}} \times {150m^2} \times {288,15K}^{4} \\ & + 5,67 \times 10^{-8} {W\over{m^2 \cdot K^4}} \times {80m^2} \times {253,15K}^{4} \\ & + 5,67 \times 10^{-8} {W\over{m^2 \cdot K^4}} \times {50m^2} \times {303,15K}^{4} \\ \\ & = 41.874 W + 12.260 W + 58.634 W + 18.629 W + 23.943 W \\ \\ & = 155.340 W \end{aligned}\end{equation}\)

A2: Berechnung der Tages-Erdtemperaturen mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz in 1° Schritten vom Azimut

Anhang A2-1 Zurück

\(\displaystyle{P=\sigma \times A \times T^{4}}\)

Wir wollen über die eingestrahlte Leistung der Sonne die Temperatur ermitteln, und müssen die Formel daher umstellen. Weil es sich um die eingestrahlte Leistung der Sonne handelt, nennen wir P fortan \(P_S\)

\(T=\sqrt[\LARGE 4]{P_S \over{\sigma \times A}}\)

Wir rechnen mit der üblicherweise angesetzten Albedo \(\alpha\) von 0,3.

\(T=\sqrt[\LARGE 4]{{ (1 - \alpha) \times P_S }\over{\sigma \times A }}\)

Lebten wir auf der Scheibenwelt von Terry Pratchet, dann wären wir damit fertig. Da wir aber auf einer Kugelwelt leben, geht es nun daran, die Formel für die Betrachtung einzelner Kreisausschnitte der bestrahlten Erdhalbkugel zu ermitteln.

Uli Weber wollte dies mit 1° Schritten machen. Der Ansatz ist allerdings für jede Schrittweite gleich. In Abhängigkeit vom Winkel verkleinert sich mit jedem weiteren Winkelgrad die scheinbare Breite der bestrahlten Fläche aus der Sicht der Sonne, so dass sie, je schräger die Strahlen auftreffen, um so weniger Energie pro Quadratmeter absorbieren.

Dies in eine Formel abzubilden ist einfach, denn die jeweils eingestrahlte Energie ist die eingestrahlte Energie im Azimut (also Scheitelpunkt) mal den Kosinus des Winkels, um den der betrachtete Kreis vom Azimut entfernt ist. Diesen Winkel benenne ich Klein-Gamma \(\gamma\) und füge \(cos(\gamma)\) als Faktor vor der Leistung \(P_S\) in die Formel ein.

\(T=\sqrt[\LARGE 4]{{ (1 - \alpha) \times cos(\gamma) \times P_S }\over{\sigma \times A }}\)

Da die eingestrahlte Energie der Sonne sowieso bereits in Watt pro Quadratmeter angegeben wird, also als Leistungsdichte, können wir diese Leistungsdichte in die Gleichung als \(I_S\) (Irradiation), und zwar Anstelle \(I_S = P_S / A\) , einsetzen.

\(T_{\gamma}=\sqrt[\LARGE 4]{{ (1 - \alpha) \times cos(\gamma) \times I_S }\over{\sigma}}\)

A3: Berechnung der Temperatur in Abhängigkeit von Abstand vom Azimut

Anhang A3 Zurück

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import math

Is = 1361   # IPCC: 1361, also in discussion: 1367 

# albedo, reflected fraction of the solar irradiation
alpha = 0.3
# Stefan-Boltzmann-Constant in W/(m² K⁴)
sigma = 5.67 * 10**-8
# 0 Celsius in Kelvon
Kc = 273.15

# Ring-Width in °
width = 1  # 5, 1, 1/64

# Gamma Values, since we start at 0, I need alwys +1 to reach 90°
g = [width*i for i in range(math.floor(90/width + 1))]

# Temperature Values
t = []
# Area Values
a = []

for gamma in g: # range(0, 90+width, width):
    # 4th root 
    Tgamma = (((1 - alpha) * math.cos(math.radians(gamma)) * Is) / sigma)**0.25

    # save Temperature in Celsius
    t.append(Tgamma - Kc)

withratio = width.as_integer_ratio()
if withratio[1] == 1:
    withratio = withratio[0]
else:
    withratio = str(withratio[0]) + "/" + str(withratio[1])

print("Solar Irradiation:", Is)
print("Width in °:       ", withratio)
print("=================================")
print("Azimut:        ", g[0])
print("Horizon:      ", g[-1])
print("T(0)  in °C:  ", t[0])
print("T(60) in °C:  ", t[math.floor(60/width)])
print("T(90) in °C:", t[-1])

T = pd.DataFrame({"γ": g, "T": t})
ax = T.plot(x='γ', y='T', color='blue', kind="line")
plt.grid()
plt.show()

A4: Formel zur Berechnung der Flächen der Kugelzonen

Anhang A4 Zurück

Eine sogenannte Kugelkappe \(A_k\) wird, mit \(r_e\) als Radius der Erde, mit der folgenden Formel ermittelt:

\(A_k = 2 \times \pi \times r_e^2 \times \cos( \gamma )\)

Wobei \(\cos( \gamma )\) die Strecke angibt, um die der jeweilige Kreis von dem maximalen Umkreis entfernt ist. mit \(\gamma = 0°\) ergibt sich also die Fläche der Halbkugel. Um die Flächen einer Kugelzone \(A_z\) von 1° Breite zu erhalten, muss ich also jeweils zwei Kugelkappen voneinander abziehen.

\(A_{z ( \gamma )} = A_{k ( \gamma )} - A_{k ( \gamma + 1° )}\)

\(\begin{equation}\begin{aligned} A_z & = 2 \times \pi \times r_e^2 \times ( \cos( \gamma ) - \cos( \gamma + 1° ) ) & & {\Large\gamma |_{0°}^{90°} } \end{aligned}\end{equation}\)

A5: Berechnung der Flächen der Kugelzonen zu den ermittelten Gleichgewichtstemperaturen

Anhang A5 Zurück

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Tue Sep  5 01:46:58 2023

@author: frank
"""

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import math

# solar irradiance in W/m²
Is = 1361   # Uli Weber:  1367 IPCC: 1361
# albedo, reflected fraction of the solar irradiation
alpha = 0.3
# Stefan-Boltzmann-Constant in W/(m² K⁴)
sigma = 5.67 * 10**-8
# 0 Celsius in Kelvon
Kc = 273.15

# earth radius in meter
r_e = 6371000

# Ring-Width in °
width = 1  # 1, 1/8, 1/64

# Gamma Values, since we start at 0, I need alwys +1 to reach 90°
g = [width*i for i in range(math.floor(90/width + 1))]

# Temperature Values
t = []
# Area Values
A_max_t = []
A_min_t = []

A_max = 0

A_av_min = 0
A_av_max = 0


for gamma in g: # range(0, 90+width, width):
    # 4th root
    Tgamma = (((1 - alpha) * math.cos(math.radians(gamma)) * Is) / sigma)**0.25

    # min and max referr to the late temperature assignment
    A_min = A_max
    A_max = 2 * math.pi * r_e**2 * (math.cos(math.radians(gamma))
                                    - math.cos(math.radians(gamma+width)))
    # g.append(gamma)
    # save Temperature in Celsius
    t.append(Tgamma - Kc)

    # save areas
    A_max_t.append(A_max)
    A_min_t.append(A_min)

widthratio = width.as_integer_ratio()
if widthratio[1] == 1:
    widthratio = widthratio[0]
else:
    widthratio = str(widthratio[0]) + "/" + str(widthratio[1])

print("Solar Irradiation:", Is)
print("Width in °:       ", widthratio)
print("=================================")
print("Azimut:        ", g[0])
print("Horizon:      ", g[-1])
print("T(0)  in °C:  ", t[0])
print("T(60) in °C:  ", t[math.floor(60/width)])
print("T(90) in °C:", t[-1])

T = pd.DataFrame({"γ": g, "T": t, "Amax": A_max_t, "Amin": A_min_t})

# figsize won't work for first plot without this empty plot
plt.rcParams['figure.figsize'] = [9, 6]
plt.show()

ax = T.plot(x='γ', y='T', color='blue', kind="line")
plt.rcParams['figure.figsize'] = [9, 6]
plt.suptitle("Strahlungsgleichgewicht-Temperaturen der Tag-Seite",
          fontsize = 14)
plt.title("in "+str(widthratio)+"° Schritten vom Azimut",
          fontsize = 12)
plt.xlabel("Abstand vom Azimut in Winkelgraden", fontsize = 12)
plt.ylabel("Temperatur in °C", fontsize = 12)
plt.grid()
plt.savefig(
    "/home/frank/projects/idee/website/image/Figure-2023-09-05-014750.svg")
plt.show()

ax = T.plot(x='T', y=['Amax', 'Amin'], kind="line")
plt.rcParams['figure.figsize'] = [9, 6]
plt.suptitle("Flächen und Temperaturen der Kugelzonen",
          fontsize = 14)
plt.title("Berechnet in "+str(widthratio)+"° Schritten vom Azimut",
          fontsize = 12)
plt.xlabel("Temperatur in °C", fontsize = 12)
plt.ylabel("Fläche in m²", fontsize = 12)
plt.grid()
plt.savefig(
    "/home/frank/projects/idee/website/image/Figure-2023-09-05-A_t.svg")
plt.show()

A6: Berechnung der Durchschnittstemperatur der Erd-Tagseite

Anhang A6 Zurück

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Tue Sep  5 01:46:58 2023

@author: frank
"""

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import math

# solar irradiance in W/m²
Is = 1361   # Uli Weber:  1367 IPCC: 1361
# albedo, reflected fraction of the solar irradiation
alpha = 0.3
# Stefan-Boltzmann-Constant in W/(m² K⁴)
sigma = 5.67 * 10**-8
# 0 Celsius in Kelvon
Kc = 273.15

# earth radius in meter
r_e = 6371000

# Ring-Width in °
width = 1  # 1, 1/8, 1/64

# Gamma Values, since we start at 0, I need alwys +1 to reach 90°
g = [width*i for i in range(math.floor(90/width + 1))]

# Temperature Values
t = []
# Area Values
A_max_t = []
A_min_t = []
# Average Equilibrium Temperature as calculated starting from azimut
T_av_min = []
T_av_max = []

A_max = 0

A_av_min = 0
A_av_max = 0


for gamma in g: # range(0, 90+width, width):
    # 4th root
    Tgamma = (((1 - alpha) * math.cos(math.radians(gamma)) * Is) / sigma)**0.25

    # min and max referr to the late temperature assignment
    A_min = A_max
    A_max = 2 * math.pi * r_e**2 * (math.cos(math.radians(gamma))
                                    - math.cos(math.radians(gamma+width)))
    # g.append(gamma)
    # save Temperature in Celsius
    t.append(Tgamma - Kc)

    # save areas
    A_max_t.append(A_max)
    A_min_t.append(A_min)

    # calculate, how the average temperature changes with gamma
    # saves lines costs CPU
    t_av_min = 0
    if sum(A_min_t) > 0:
        t_av_min = sum([a * b for a, b in zip(t, A_min_t)]) / sum(A_min_t)

    t_av_max = 0
    if sum(A_max_t) > 0:
        t_av_max = sum([a * b for a, b in zip(t, A_max_t)]) / sum(A_max_t)

    T_av_min.append(t_av_min)
    T_av_max.append(t_av_max)

widthratio = width.as_integer_ratio()
if widthratio[1] == 1:
    widthratio = widthratio[0]
else:
    widthratio = str(widthratio[0]) + "/" + str(widthratio[1])

print("Solar Irradiation:", Is)
print("Width in °:       ", widthratio)
print("=================================")
print("Azimut:        ", g[0])
print("Horizon:      ", g[-1])
print("T(0)  in °C:  ", t[0])
print("T(60) in °C:  ", t[math.floor(60/width)])
print("T(90) in °C:", t[-1])
print("t_av_min:     ", t_av_min)
print("t_av_max:     ", t_av_max)

T = pd.DataFrame({"γ": g, "T": t, "Amax": A_max_t, "Amin": A_min_t,
                  "T_av_min": T_av_min, "T_av_max": T_av_max})

# figsize won't work for first plot without this empty plot
plt.rcParams['figure.figsize'] = [9, 6]
plt.show()

ax = T.plot(x='γ', y='T', color='blue', kind="line")
plt.rcParams['figure.figsize'] = [9, 6]
plt.suptitle("Strahlungsgleichgewicht-Temperaturen der Tag-Seite",
          fontsize = 14)
plt.title("in "+str(widthratio)+"° Schritten vom Azimut",
          fontsize = 12)
plt.xlabel("Abstand vom Azimut in Winkelgraden", fontsize = 12)
plt.ylabel("Temperatur in °C", fontsize = 12)
plt.grid()
plt.savefig(
    "/home/frank/projects/idee/website/image/Figure-2023-09-05-014750.svg")
plt.show()

ax = T.plot(x='T', y=['Amax', 'Amin'], kind="line")
plt.rcParams['figure.figsize'] = [9, 6]
plt.suptitle("Flächen und Temperaturen der Kugelzonen",
          fontsize = 14)
plt.title("Berechnet in "+str(widthratio)+"° Schritten vom Azimut",
          fontsize = 12)
plt.xlabel("Temperatur in °C", fontsize = 12)
plt.ylabel("Fläche in m²", fontsize = 12)
plt.grid()
plt.savefig(
    "/home/frank/projects/idee/website/image/Figure-2023-09-05-A_t.svg")
plt.show()

ax = T.plot(x='γ', y=['T_av_max', 'T_av_min'], kind="line")
plt.rcParams['figure.figsize'] = [9, 6]
plt.suptitle("Annäherung der Durchschnittstemperatur an das Endergebnis",
          fontsize = 14)
plt.title("Berechnet in "+str(widthratio)+"° Schritten vom Azimut",
          fontsize = 12)
plt.xlabel("Abstand vom Azimut in Winkelgraden", fontsize = 12)
plt.ylabel("Durchschnittstemperatur in °C", fontsize = 12)
plt.grid()
plt.savefig(
    "/home/frank/projects/idee/website/image/Figure-2023-09-05-T_av.svg")
plt.show()

A7: Beispiel verschiedener Durchschnittstemperaturen gleicher Wärmestrahlungsdichte

Anhang A7 Zurück

Das Eingangsbeispiel zeigte, dass wir mit unterschiedlichen Durchschnittstemperaturen das gleiche Strahlungsgleichgewicht erreichen können. Sie erinnern sich, dass wir die Gesamtstrahlungsleistung \(P\) als Summe der Teilstrahlungsleistungen \(P_1\) bis \(P_5\) der Einzelflächen ermittelt hatten? In diesem Beispiel können wir die Temperaturen der Teilflächen immer neu variieren bei immer gleicher Gesamtstrahlungsleistung und immer anderer Durchschnittstemperatur.

Machen wir das Beispiel kleiner und variieren wir nur \(P_1\) und \(P_2\) . Die Summer der beiden Leistungen soll gleich bleiben. Wir können ausrechnen, um wie viel °C wir die Temperatur \(T_2\) erhöhen müssen, wenn wir \(T_1\) von 20°C auf \(T_1'\) von 18°C absenken. Im Ergebnis erhalten wir eine andere Durchschnittstemperatur.

\(P_1 + P_2 = P_1' + P_2'\)

\(P_2' = P_2 + P_1 - P_1'\)

\({T_2'}^4 \times \sigma \times A_2 = \sigma \times ( A_2 \times T_2^4 + A_1 \times ( T_1^4 - {T_1'}^4 ))\)

\({T_2'}^4 \times A_2 = A_2 \times T_2^4 + A_1 \times ( T_1^4 - {T_1'}^4 )\)

\({T_2'}^4 = {{A_2 \times T_2^4 + A_1 \times ( T_1^4 - {T_1'}^4 )}\over{A_2}}\)

\(T_2' = \sqrt[\LARGE 4]{({A_2 \times T_2^4 + A_1 \times ( T_1^4 - {T_1'}^4 )}\over{A_2}}\)

\(T_2' = \sqrt[\LARGE 4]{({40m^2 \times 271,15^4K^4 + 100m^2 \times ( 293,15^4K^4 - (293,15K - 2K)^4 )}\over{40m^2}}\)

\(T_2' = 277,20K = 4.05°C\)

Die Temperatur der Fläche 2 muss von -2°C auf +4°C steigen, wenn wir die Temperatur der Fläche 1 um von 20°C auf 18°C absenken und dennoch die gleiche Gesamtstrahlungsleistung haben wollen.

Die Durchschnittstemperatur hat sich geändert, wie sich leicht zeigen lässt.

\(\begin{equation}\begin{aligned} {(18°C \times 100m^2 + 4°C \times 40m^2)\over 140m^2 } \not & = {(20°C \times 100m^2 - 2°C \times 40m^2)\over 140m^2 }\\ \\ 14,0°C \not & = 13,7°C\\ \end{aligned}\end{equation}\)

Fußnoten